内田 集合と位相
輪読会というほどでもないけれど、一緒に読んでくれる人がいると嬉しいbiwa.icon
いつでも読めそうですtakker.icon
大学が契約している電子ブックにあった
素晴らしいbiwa.icon
「一緒に読む」ってどうやればいいんだろうtakker.icon
輪読とはなんぞや
好きに問題解いちゃっていいのかな
好きなようにしていいと思いますbiwa.icon
ScrapBoxなので、読書メモ(会話)的なのでいいんじゃないかなとbiwa.icon
タイトルの内田ってなんだって思った、著者の名前？？
著者の名前ですbiwa.icon
[https://d1b14unh5d6w7g.cloudfront.net/B08PK1SS36.01.S001.LXXXXXXX.jpg?Expires=1684736067&Signature=AIpgTt8jiR6HqzvGa1Tgnysybxrii-CFCFNtoY-vruOUatlBN6vuXy-Zn~TNSclY55zQ7qeTN~LxvgZekin8F2yn9dz7WLxV8p34do-lt4k6TwLvULFgV01j3EK~WsHwlRaSUvbX7G9ueuu~fbC2wRoPolU7sBYs63zBFUumGiY_&Key-Pair-Id=APKAIUO27P366FGALUMQ]
画像が消えちまったぁっ
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新しい画像です
目次
§1 集合とは
§2 集合の演算
§3 ド・モルガンの法則
§6 全射・単射
§7 濃度の大小
§8 二項関係
§9 整列集合
全然知らない所から初めて、必要な知識を調べていくスタイル
$ (X,\le)が整列集合である
$ :\iff
1. $ (X,\le)は半順序集合である
空でない部分集合が常に最小元を持つ
$ \forall A\in2^X\setminus\{\varnothing\}\exist m\in A\forall a\in A.m\le a
あ～～そういうことtakker.icon
つまり数学的帰納法を適用できる半順序集合を整列集合と呼んでいるんだ 数学的帰納法が成立するなら、全ての要素を1直線に(昇順|降順)で並べる事ができる
だから「整列」集合と呼ばれているってことか
数学的帰納法の一般化ver.として、超限帰納法という言葉を用いる 超限帰納法：任意の整列集合ver.
数学的帰納法：$ \Nや$ \Zに限定したときの呼び名
整列集合は離散性を要求されないから、単純な数学的帰納法の一般化ver.ではない
$ (X,\le)が整列集合のとき、↓を元$ aによる切片と呼ぶ $ X\langle a\rangle:=\{x\in X|x<a\}=]-\infty,a \lbrack
<>の余白が広すぎる。狭くしたいtakker.icon
\langleと\rangleで狭くできた
定理9.1
任意の整列集合$ (X,\le)と$ \forall\varphi:X\to Xにて、
$ \begin{dcases}\forall x_0,x_1\in X.(\varphi(x_0)=\varphi(x_1)\implies x_0=x_1)\\\forall x_0,x_1\in X.(x_0\le x_1\implies\varphi(x_0)\le\varphi(x_1))\end{dcases}\implies\forall x\in X.x\le\varphi(x)
左辺の上式は、$ \varphiが単射であることを示す論理式
書籍ではすぐ次に証明があるが、読まずに示したいtakker.icon
なぜ$ x>\varphi(x)ではないのかを考える
$ x=\min Xのときは$ x\le\varphi(x)しかありえない
では$ x=\min X+1なら？
順序を保つ写像だから、$ \min X\le\varphi(\min X)\le\varphi(\min X+1)となる
頭の中でぐるぐるして、解けそうだとわかった
ただどうしても背理法を使わざるを得なさそうなのがいやだな
とりあえず証明を完成させて、そのあと背理法なしの証明を作ってみよう
$ \forall a\in X\exists b>a.]a,b\lbrack=\varnothing
方針1：最初のケースを示した後、帰納法で一般的に示す
方針2：任意の$ aに対して示す
具体的には、$ a の後続元が常に存在し、それが$ \min]a,\infty\lbrack であることを示せればいい $ aで切断(ある意味Dedekind切断かも？)したとき、$ Xの元すべてがどちらかの集合に入ることから、緻密でないことを示せないか？ 証明
方針2でいく
$ \forall a\in X;
$ \top
$ \iff]-\infty,a]\cup X\setminus]-\infty,a]=X
$ \implies\forall x\in X.x\le a\lor\lnot(x\le a)
ちょっとまって。$ x\le a\lor x>aは全順序でしか成り立たないんじゃなかった？takker.icon 集合を切断して示すやり方はあっているか不安だ。やめておこう
証明
方針1でいく
問9.1
任意の整列集合$ (X,\le)に対して$ \forall b\in X\forall a>b.(X\langle a\rangle)\langle b\rangle=X\langle b\rangleが成り立つことを示す
takker.icon
$ (X\langle a\rangle)\langle b\rangle=\{x\in\{x\in X|x<a\}|x<b\}
$ =\{x\in X|x<a\land x<b\}
$ = X\langle\min\{a,b\}\rangle
$ \underline{=X\langle b\rangle\quad(\because a>b)\quad}_\blacksquare
問9.2
知らないtakker.icon
§8あたりに戻ればわかりそう
§10 選択公理
§12 ユークリッド空間
§13 距離空間
§15 位相
§16 近傍系と連続写像
§18 点列連続性
§19 積空間
§20 商空間
7．位相的性質
§23 有限交叉性とチコノフの定理
§24 局所コンパクト性
§25 連結性
8．完備距離空間
§27 距離空間のコンパクト性
§28 距離空間の完備化
9．写像空間
§29 実連続関数
§30 コンパクト開位相